• Какво е бройна система?
• Непозиционни бройни системи
• Полупозиционни бройни системи
• Позиционни бройни системи

Обясняваме какво е система за номериране и изучаваме характеристиките на всеки тип система чрез примери от различни култури.

Всяка бройна система съдържа определен и краен набор от символи.

Какво е бройна система?

Бройната система е набор от символи и правила, чрез които може да се изрази броят на обектите в числото. комплект, т.е. чрез който могат да бъдат представени всички валидни числа. Това означава, че всяка бройна система съдържа даден и краен набор от символи, плюс даден и краен набор от правила, чрез които те да бъдат комбинирани.

Системите за номериране са били едно от основните изобретения на човечеството в древността и всяка от древните цивилизации е имала своя система, свързана с нейния начин на виждане за света, тоест с нейната култура.

Най-общо казано, системите за номериране могат да бъдат класифицирани в три различни типа:

• непозиционни системи. Те са тези, при които всеки символ съответства на фиксирана стойност, независимо от позицията, която заема в рамките на числото (ако се появява първи, от едната страна или след).
• Полупозиционни системи. Те са тези, при които стойността на символ има тенденция да бъде фиксирана, но може да бъде модифицирана в определени ситуации на външен вид (въпреки че те са по-скоро изключения). Разбира се като междинна система между позиционната и непозиционната.
• Позиционни или претеглени системи.Те са тези, при които стойността на даден символ се определя както от собствения му израз, така и от мястото, което заема в числото, като може да струва повече или по-малко или да изразява различни стойности в зависимост от това къде се намира.

Възможно е също така да се класифицират системите за номериране въз основа на числото, което използват като основа за своите изчисления. Така например сегашната западна система е десетична (тъй като нейната основа е 10), докато шумерската система за номериране е шестдесетична (нейната основа е 60).

Непозиционни бройни системи

Непозиционните системи бяха лесни за научаване, но изискваха множество символи.

Непозиционните бройни системи бяха първите, които съществуваха и имаха най-примитивните основи: пръсти, възли на въже или други методи за запис за координиране на набори от числа. Например, ако броите на пръстите на едната си ръка, тогава можете да броите на цели ръце.

В тези системи цифрите имат своя собствена стойност, независимо от местоположението им във веригата от символи и за да се образуват нови символи, стойностите на символите трябва да се добавят (поради тази причина те са известни също като адитивни системи). Тези системи бяха прости, лесни за научаване, но изискваха множество символи за изразяване на големи количества, така че не бяха напълно ефективни.

Примери за тези видове системи са:

• Египетската бройна система. Възниква около третото хилядолетие пр.н.е. C., се основаваше на десетте и се използваше йероглифи различни за всеки ред от единици: една за единица, една за десет, една за сто и така нататък до милион.
• Бройната система на ацтеките. Типично за мексиканската империя, тя имаше 20 като основа и използваше специфични предмети като символи: знаме се равняваше на 20 единици, перо или няколко косми се равняваха на 400, чанта или чувал се равняваха на 8000, наред с други.
• Гръцката бройна система.По-специално йонийският, е изобретен и разпространен в източното Средиземноморие от четвърти век пр.н.е. C., заменяйки съществуващата преди това акрофонична система. Това беше азбучна система, която използва букви за означаване на числа, съпоставяйки буквата с кардиналното й място в азбуката (A=1, B=2). Така на всяко число от 1 до 9 беше присвоена буква, на всяка десетка - друга специфична буква, на всяка стотина - друга, докато бяха използвани 27 букви: 24-те от гръцката азбука и три специални знака.

Полупозиционни бройни системи

Полупозиционните системи отговарят на нуждите на една по-развита икономика.

Полупозиционните числови системи съчетават представата за фиксираната стойност на всеки символ с определени правила за позициониране, така че могат да се разбират като хибридна или смесена система между позиционни и непозиционни. Те се радват на съоръжения за представяне на големи числа, управление на реда на числата и формални процедури като умножение, така че представляват стъпка напред в сложността в сравнение с непозиционните системи.

До голяма степен появата на полупозиционни системи може да се разбира като преход към по-ефективен модел на номериране, който би могъл да задоволи по-сложните нужди на една по-развита икономика, като тази на големите империи от класическата античност.

Примери за този модел на номериране са:

• Римската цифрова система. Създаден през римската античност, той оцелява и до днес. В тази система фигурите са изградени с помощта на определени главни букви от латинската азбука (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 и т.н.), чиято стойност е фиксирана и оперирана въз основа на събиране и изваждане, в зависимост от където се появява символът.Ако символът е отляво на символ с равна или по-малка стойност (както в II = 2 или XI = 11), трябва да се добавят общите стойности; докато ако символът беше отляво на символ с по-висока стойност (както в IX = 9 или IV = 4), те трябваше да бъдат извадени.
• Класическата китайска бройна система. Произходът му датира от приблизително 1500 г. пр.н.е. C. и е много стриктна система за вертикално представяне на числа чрез техните собствени символи, съчетаваща две различни системи: една за разговорно и ежедневно писане и друга за търговски или финансови записи. Това беше десетична система, която имаше девет различни знака, които можеха да се поставят един до друг, за да добавят стойностите си, понякога вмъквайки специален знак или редувайки местоположението на знаците, за да обозначат конкретна операция.

Позиционни бройни системи

Сегашната система за номериране идва от индуско-арабската система.

Позиционните бройни системи са най-сложните и ефективни от трите типа бройни системи, които съществуват. Комбинацията от правилната стойност на символите и стойността, определена от тяхната позиция, им позволява да изграждат много високи цифри с много малко знаци, добавяйки и/или умножавайки стойността на всеки един, което ги прави по-гъвкави и модерни системи.

Като цяло, позиционните системи използват фиксиран набор от символи и чрез тяхната комбинация се произвеждат останалите възможни фигури ad infinitum, без да е необходимо да се създават нови знаци, а по-скоро чрез въвеждане на нови колони от символи. Разбира се, това означава, че грешка в низа също променя общата стойност на числото.

Първите примери за системи от този тип възникват в рамките на големите империи или най-взискателните древни култури по отношение на културни и търговски въпроси, като Вавилонската империя от второто хилядолетие пр.н.е. C. Примери за този тип система за номериране са:

• Съвременната десетична система.Само с цифрите от 0 до 9 ви позволява да съставите произволно възможно число, като добавяте колони, чиято стойност се добавя, докато се движите надясно, като десетте са за основа. По този начин, добавяйки символи към 1, можем да изградим 10, 195, 1958 или 19589. Важно е да се изясни, че използваните символи идват от индуски-арабски цифри.
• Индуско-арабската бройна система. Изобретен от древните мъдреци на Индия и по-късно наследен от мюсюлманските араби, той достига на Запад през Ал-Андалус и в крайна сметка заменя Римски цифри традиционен. В тази система, подобна на съвременната десетична система, единиците от 0 до 9 са представени със специфични глифове, които представят стойността на всяка от тях чрез линии и ъгли. Системата на работа на тази система е основно същата като съвременната западна десетична система.
• Бройната система на маите. Създаден е за измерване на времето, вместо за извършване на математически транзакции, основата му е била вигезимална и символите му съответстват на календара на тази предколумбова цивилизация. Фигурите, групирани 20 на 20, са представени с основни знаци (ивици, точки и охлюви или черупки); и за преминаване към следващия резултат се добавя точка на следващото ниво на писане. В допълнение, на маите те са сред първите, които използват числото нула.